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1. $f_i$ 应为至多使用 $i$ 种颜色的方案数。

2. 不妨重新推导 $f_i$ 求法。

若选择 $k$ 列涂色，答案为 $C_m^k\times ((i+1)^k-1)^n$，此处确实没有问题。再深入解释就成tlqtj了。

考虑容斥，应让所有 $m$ 列都涂色，上述式子存在一些列没被涂上。所以要减掉。

不难容斥得原式应为：

$$\begin{aligned} &f_i=C_m^m\times ((i+1)^m-1)^n-C_m^{m-1}\times ((i+1)^{m-1}-1)^n+\dots +(-1)^{m}\times C_m^0\times 0\\ &\hspace{0.29cm}=\sum_{k=0}^m (-1)^{m-k}C_m^k ((i+1)^{k}-1)^n \end{aligned}$$

与原题解叙述不符。

3. 原题解位置偏上，极易误导只看式子推导的新手（ctj除外）。

综上建议撤下。