上 OI-wiki 学习多项式牛顿迭代，突然感觉很奇怪：

$$x^*=x-\Delta x=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$$

这就是 Newton's Method 的迭代式。非常感性地，我们直接把 $x$ 换成多项式：

$$f^*(x)=f(x)-\frac{g(f(x))}{g'(f(x))}$$

感觉这个换元有点抽象了（

不过我的问题不在这里，关键是接下来有一个多项式求逆的例子：

$$g(f(x))=\frac 1{f(x)}-h(x)$$

求得 $f$ 使 $g(f(x))=0$ 则 $f$ 为 $h$ 的逆。

接下来套式子（直接摘自 OI-wiki）：

$$f^*(x)=f(x)-\frac{g(f(x))}{g'(f(x))}=f(x)-\frac{\frac1{f(x)}-h(x)}{\frac1{f^2(x)}}$$

what？为什么 $g'(f(x))$ 会是这个东西？以我（也许并不扎实的）理解：

$$g(f(x))=\frac 1{f(x)}-h(x)\Rightarrow g(x)=\frac 1x-h(f^{-1}(x))$$

其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，即 $f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\text{id}$，$\circ$ 是多项式复合。

咳咳，接下来求导：

$$g'(x)=-\frac 1{x^2}-h'(f^{-1}(x))\cdot [f^{-1}(x)]'=-\frac 1{x^2}-h'(f^{-1}(x))\cdot\frac 1{f'(f^{-1}(x))}$$

接下来再代回来：

$$g'(f(x))=-\frac 1{f^2(x)}-\frac{h'(f^{-1}(f(x)))}{f'(f^{-1}(f(x)))}=-\frac1{f^2(x)}-\frac{h'(x)}{f'(x)}$$

这这和上面完全不一样啊！这 $h(x)$ 不导了吗？！