这最开始由大佬 Turgen 在这篇帖子中提出。但个人认为该帖子中证明的核心思想并不是很突出，细节部分也有疑似笔误的地方，故再次进行总结。

证明：

设某次枚举中两个区间分别为集合 $A$ 和 $B$。需要指出的是，在接下来的证明中，我们将不区分 $A$ 和 $B$ 的前后顺序，因为如果顺序不合适，交换其表示的区间即可。

首先，枚举算法已经保证 $A\ne B$ 且 $A,B\ne\varnothing$，那么这时候再出现重叠，就有且只有两种情况了：

或

也就是一个区间完全包含了另一个区间，或者两区间有一部分是重叠的。

对于第一种情况，为方便起见，我们用小写字母表示正整数，就可以设 $A=\left\{b,c\right\}$，$B=\left\{a,b,c,d\right\}$。

需要知道有引理：

设两正整数 $x$ 和 $y$，则有 $x+y>\left|x-y\right|$。

此时，差距为 $a+d$，而如果取 $A=\left\{a\right\}$，$B=\left\{d\right\}$，则差距为$\left|a-d\right|$。根据引理，后者更优，所以不合法的前者永远不会成为最终答案。

对于第二种情况，设 $A=\left\{a,b,c\right\}$，$B=\left\{b,c,d\right\}$。此时，差距为$\left|a-d\right|$，而如果取 $A=\left\{a\right\}$，$B=\left\{d\right\}$，同样可以出现$\left|a-d\right|$的差距。也就是说，虽然差距的来源，也就是选择的区间，是不合法的，但是这个差距是一定可以通过选择其他合法区间合法出现的，所以就算用这个差距来更新答案了，答案的正确性也是不受影响的。