评橙有点离谱了，题解区都没关于结论的严谨证明。

考虑数学归纳法，设对于生成的序列 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 而言能得到所有的 $1\sim \sum a_i$。令 $s=\sum a_i$。设加入的新数为 $x$，则 $a_i\le x\le s$。需要证明的是能表示出 $1\sim s+x$ 的所有数，显然只需要证明能表示出 $s+1\sim s+x$ 的所有数。由于 $1\sim s$ 都能被前 $n$ 个数表示出，因此我们选择上 $x$ 就能表示出 $s+1\sim s+x$。