在洛谷, 发送数学问题应该不是违反规则的.

根据熟知的结论: "Gelfand 变换是 $L^1(G)$ 上的 Fourier 变换" ($G$ 是局部紧 Abel 群).

我们知道, 在一般的去幺交换 Banach 代数 $A$ 上, Gelfand 变换是

的映射. 现在在一般的泛函分析书上可以得知当 $A$ 是含幺交换 Banach 代数时, $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A) \simeq \operatorname{Hom}(A, \mathbb C)$.

现在带入 $A = L^1(G)$ (附着卷积运算). 为了把 Gelfand 变换与 Fourier 变换等同, 我们应该给出变换 $A \to \operatorname{Hom}(A, \mathbb C)$. 然而, 以 $G = \mathbb R$ 为例, $L^1(G)$ 未必含幺. 这样我们难以等同 $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A)$ 与 $\operatorname{Hom}(A, \mathbb C)$.

这种现象该如何解释?