在看同学写的题解里有这么一段：

可以发现 $ans=\sum\limits_{c}\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+c_{i-1}-c_i)$。

考虑多项式展开，对于内部的 $a_i+c_{i-1}-c_i$ 我们直接划分为两部分：$a-c_i$ 和 $c_{i-1}$。

此时我们推广到积就会得到很多项 $a-c_i$ 和 $c_{i-1}$ 的和，我们再引入一个子集 $S\subseteq\{1,2,3,\cdots,n\}$。

每个 $i\in S$ 代表在 $a_i-c_i$ 中选取，否则代表在 $c_{i-1}$ 中选取。

那么我们也就发现 $\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+c_{i-1}-c_i)=\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,\cdots,n\}}\prod\limits_{i\in S} (a_i-c_{i})\prod\limits_{i\not\in S}c_{i-1}$。

整体式子也就得到了 $ans=\sum\limits_{c}\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,\cdots,n\}}\prod\limits_{i\in S} (a_i-c_{i})\prod\limits_{i\not\in S}c_{i-1}$。

关于这个式子我搞不明白的是，引入 $S$ 之后，我认为它应该写成 $\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,\cdots,n\}}\prod\limits_{i\in S} (a_i-c_{i})\prod\limits_{i\in S}c_{i-1}$,也就是不清楚为什么当 $i\in S$ 的时候取 $(a_i-c_i)$,反之取 $c_i$.

我也很迷糊，其实也不太搞得懂自己在说什么。如果您没理解我的意思也可以提出来，我来优化我的表达。

请问是否能详细解析一下这个式子？