以下证明不能保证特别严谨。

结论：当区间 $[l,r]$ 满足 $r-l+1\geqslant 2\sqrt n$ 时，线性基满秩。

考虑反证法，线性基不满秩的条件：存在两个质数 $p,q(p<q)$ 成对出现，或者说：对于 $[l,r]$ 内的任意满足 $p\mid i$ 的数 $i$，$i$ 同样满足 $q\mid i$。

设区间内存在 $a=kpq$。 显然 $p<\sqrt n$，由于区间长度 $\geqslant 2\sqrt n>2p$。所以区间内存在 $b=a-p=p(kq-1)$ 或 $c=a+p=p(kq+1)$。

$b,c$ 都满足 $q\nmid b,q\nmid c$，于是区间内存在一个数满足 $p\mid i$ 并且 $q\nmid i$，与假设矛盾。故线性基必然满秩。