有一个图论命题，不知道是否正确：

给定一张$2n$个点的有向无环图，设$f(u,v)$表示$u$与$v$之间的路径数量。现在给定一个$1 \sim 2n$的排列$p$，设$q_i=f(p_{2i-1},p_{2i})$，若$q$所有数均是正整数，证明：至少存在一个正整数$i$，满足$q_i=1$。

求各位大佬帮忙证明或证伪，谢谢！