求 $\sum_{a_i \in [1,p]}[gcd (a_1,a_2,\cdots,a_m)==1]$。

人话翻译就是求长度为 $m$，每个数在 $1$ 到 $p$ 之间，且这些数的最大公约数为一的个数。注意交换数列顺序算作不同的数列。

这个问题在 $p$ 每次询问时给出的时候，能不能 $O(\max (p))$ 以下时间复杂度预处理，单次 $O(\log n)$ 或 $O(\log m)$ 以下时间复杂度查询？