懵懂无知的我在学过之后冒出了许多的疑问

第一个问题：

1. 我们都知道，调和级数的渐进是 $O(\lg n)$ 的，证明方法很多也很初等。

   那么怎么证明素调和的渐进是 $O(\lg\lg n)$ 的？我找不到初等的证明，太菜了看不懂 qwq，求大佬给一个简单的证明方法。

2. 根据素调和渐进为 $O(\lg\lg n)$ 这个命题，容易得出埃氏筛（特指下方的非标准代码）的时间复杂度为 $O(n\lg\lg n)$：

   for (int i = 1; i <= n; i ++) {
     if (notprime[i]) continue;
     primes.push_back(i);
     for (int j = i + i; j <= n; j += i)
       notprime[j] = true;
   }
   

   但这与网上的普遍表述不统一，大部分材料都称上代码的时间复杂度为 $O(n\lg n)$ 的。

   根据素调和渐进，上述代码的时间复杂度就应该是 $O(n\lg\lg n)$ 的，下面，我们认为该命题正确。

   那么，这样子就可以引申出一个更深的问题。首先参见下面的标准埃氏筛代码：

   for(int i = 1; i <= n; i ++) {
     if (notprime[i]) continue;
     primes.push_back(i);
     for (int j = i * i; j <= n; j += i)
       notprime[j] = true;
   }
   

   对于这份代码，大家的观点都是统一的 $O(n\lg\lg n)$，母庸置疑。

   那么，注意到对于每一个 $i\in\mathbb{P}$，标准代码都比错误代码少筛了 $i$ 次，总和也就是素数和。

   那么，如果时间复杂度都相同，这能否说明，素数和的渐进就是 $O(n\lg\lg n)$ 呢？

   关于这个命题，我在网上没有找到相关证明，求大佬解惑。