考虑一个如下的问题。

我们在 $[0,1]$ 范围内随机取 $n$ 个数，第 $i$ 次取的数记作 $a_i$，求$\sum_{i=1}^na_i\le 1$ 的概率。

我想到了一个如下不知道是否严谨的做法。

• 我们考虑在 $[0,1]$ 随机取 $n$ 个数。

• 从小到大对于这些数排序，记作 $b_1,b_2....b_n$。

发现【方案数】是原命题的方案数除以 $n!$。

我们构造对于这样的一组唯一合法的 $a$，取 $a_i=b_i-b_{i-1}$。

发现，这就是满足和小于 $1$ 的所有【方案】。

所以想要求的答案就是 $\frac{1}{n!}$。

但是显然不能用【方案】这种东西来表述，因为它的本质是无限的，虽然从结果上来说应该是对的。

有以下的问题。

1.该方法是否可以改进为比较严谨。

2.该方法显然不能扩展到最后的限制为 $\sum_{i=1}^na_i\le k$。有没有优雅的做法做出限制为 $\sum_{i=1}^n a_i\le k$。