rt, 题解广泛使用了 Beatty 定理，它是说对于倒数和为 $1$ 的两无理数 $a, b$, $\{\lfloor na\rfloor\} ,\{\lfloor nb\rfloor\}$ 构成自然数的一个划分.

但显然 Beatty 定理不能导出所有划分，比如按奇偶性的划分。这说明其逆定理不成立。

没有题解证明了其的一个较弱逆命题：对于一个正整数划分 $\{\lfloor na\rfloor\} ,\{\lfloor nb\rfloor\}$，$a，b$ 倒数和为 $1$.

或许你有疑惑，但是此处题解实际上是观察到满足 Beatty 定理形式的解一定满足条件（是划分），所以置了 $a=\phi$，并未用到上述逆命题。