最近想到一道题。

给定一个数 $n$。定义一次操作为将 $n$ 首位乘 $2$ 加第二位，再将这个和乘以 $2$ 加第三位 $\dots$ 以此类推。

显然，经过一次操作后，$n$ 会变小。经过若干次操作后，$n$ 会变成一个一位数。求最后的一位数。

我找规律发现答案是 $n\bmod8$，但不知道如何证明，求助！