若存在整数$a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$满足$\frac{31}{36}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}$,这里$0\le a_i <i,i=2,3,4,5,6$。求$a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2$的值