完整纪录

• A: $0.999$ 循环等于1是科学界普遍承认的

• B：自然数有无穷个，没有无限整数，如何容得下无穷个自然数？这不就是标准数学分析理论体系，在耍不要脸吗?

• B: 如果有无限整数，那么 $0.9$ 循环中有...$111$（无限整数）个 $9$，和 $0.9$ 循环中有...$222$（无限整数）个 $9$，是同一个 $0.9$ 循环吗

• 我：反证法，假设有有限个整数，那么一定有最大的整数，但总是可以找到比最大的整数更大的整数，可得整数有无限个

• C：解释一下 $\cfrac{1}{3} \times 3$ 为什么 $=1$

• B：我发现你们是真的弄不清。。。

• B：$\cfrac{1}{3}\times 3 = 1$ 和 $\cfrac{1}{3} \ne 0.3$ 循环有毛的关系

• B：$1\div 3 = 0.3 ...0.1$

• B：$1\div 3 = 0.33..0.01$ 无穷的运算下去

• B：$1\div 3 = 0.333...$（小数点后面有...111无限整数位）余0.00...01（这是无限不循环小数，小数点后面有...111无限整数位）

  也=0.333...（小数点后面有...112无限整数位）余0.00...01（这是无限不循环小数，小数点后面有...112无限整数位）

  随着商上的3增多，余数变得无穷小。

  有余数才叫除不尽。。。

• 我：无穷小趋近于0则最终结果为0，好好学极限吧

• B：无穷小到底是不是0呀？

  要是无穷小是0，高阶无穷小是什么？

• B：跟极限有毛的关系啊？

  什么时候取无穷的时候就是等于取极限值了？

  极限理论中的，趋于无穷时的极限，

  的极限 这三个字是什么意思？

• B：如果有无限整数，那么，

  0.9循环中有...111（无限整数）个9， 和 0.9循环中有...222（无限整数）个9， 是同一个0.9循环吗？

• 我：$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon = 0$

• 我：设 $\epsilon$ 是一个无穷小量，则 $\epsilon^2$ 是 $\epsilon$ 的二阶无穷小，$\epsilon^3$ 是 $\epsilon$​ 的三阶无穷小，依此类推。

• B：趋于无穷时的极限，

  确实对的，

  但是，

  什么时候趋于无穷就得取极限值了？[斜眼]

• 我：这里的“无限整数”就是错的,无限循环小数 0.99... 的表示方式是固定的，即它有无穷多个9，而这些9的个数是不可计数的无限。

• 我：

  • 当自变量趋于无穷时
  • 当自变量趋于某个有限值时

• B：第一，0.9循环中有...111（无限整数）个9就不是0.9循环了？

• B: 第二，你说0.9循环中的9是无穷是不可数多个。

  那么请问一下，0-1区间有无穷个实数，是不是也是不可数无穷多个？

  请问2是不是实数呢？

  0-1区间有无穷个实数数量+这个实数2一个数量，一起的量跟0-1区间有无穷个实数数量一样多了？

• B: 原来不一样呀那你说个啥？

• 我：阿列夫0和阿列夫1现搞清楚是什么再说吧

• B: 哦？这两个有区别吗？

• B：0.9循环中的9是阿列夫0个9？还是阿列夫1个9呢？

• 我：阿列夫0，因为可以一一对应

• B： 哦？那么阿列夫0怎么到达阿列夫1的？

  既然0.9循环中的9是无穷个了，总是能达到的吧

• B： ...111（无限整数）位就不是无限位了？

• B: 哦哦，一一对应，中的对应的是序数呀，现在为止是以自然数为序数，自然数是实数，请问一下，那对应的自然数是那一个？

• D: 喂喂大哥们别再吵了我们看不懂