给定正整数 $n$ 和 $m$ 满足 $2^{n-1}\le m<2^n$，如下构造一个带边权的有向图：

图中含有 $2^n$ 个节点，编号为 $0,...,2^n-1$。对任意 $1\le i\le2^n$，从 $i$ 号点向 $\lfloor\frac i2\rfloor$ 号点连一条边权为 $0$ 的边（即一颗满二叉树加上 $1\to0$ 的边）；对任意 $0\le i\le2^n$，若 $i\mathop{\mathrm{or}}m=0$（其中 $\mathop{\mathrm{or}}$ 表示按位异或），则从 $i$ 号点向 $\lfloor\frac i2\rfloor+2^{n-1}$ 号点连一条边权为 $1$ 的边。

问图上的最大比率环。

假设给出的是 $m$ 的二进制表示中 $1$ 的全部位置，并且可以 $O(1)$ 计算 $O(\log m)$ 大小的整数之间的运算。

$\mathop{\mathrm{popcount}}(m)\le2$ 时问题是简单的，存在 $O(1)$ 算法。最大比率环的一般算法是 $O(4^n)=O(m^2)$ 的。

问：

• 有没有复杂度低于 $O(m^2)$ 的算法？
• 进一步地，有没有关于 $\mathop{\mathrm{popcount}}(m)$ 多项式时间复杂度的算法？