在网上看到了两个对与$Ei(x)$函数的定义，分别是 $Ei(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}dt$ $Ei(x)=\int\frac{e^x}{x}dx$ 用计算器算了一下好像是一样的，但是试着证明却出现了问题，我的思路是这样的:

由牛莱公式将等号右边的定积分变一下，很容易得到只需证明$\int\frac{e^x}{x}dx_{x=-\infty}=0$即可 但这是个非初等函数，不能用有限个初等函数组合得出，于是我想到了泰勒展开 $\int\frac{e^x}{x}dx=\int\frac{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....}{x}dx$

$=\int \frac{1}{x}+1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+...dx$

$=\int \frac{1}{x}dx+\int \sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{x^{i-1}}{i!}dx$

$=\ln |x| +\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{\int x^{i-1}dx}{i!}$ $=\ln |x| +\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{ x^{i}}{i!i}$

可是把$-\infty$代入好像不是0吧 设能告诉我为什么...玄关！