写篇还没证完，但大概是对的证法。后面的咕咕咕了，以后再说（

首先，给出一种构造：

1. $n<4$ 时，自行构造即可

2. $n=4$ 时，构造如样例

3. $n>4$ 时，依据 $n-1$ 的构造方法，若无法在前 $n-1$ 个柱子中放，则新开一个柱子，接下来依次在最高处放球即可

这样的答案是依据 $+2 +2 +4 +4 +6 +6$ 增加的。

设 $a_k$ 表示 $k$ 个柱子的答案，则依据答案增加规律，易得：

1. $a_{2k-1}=2k^2-1$

2. $a_{2k}=2k^2+2k-1$

由于我太懒了，于是只给出 $case1$ 的证明，如下：

证明构造结果最大，即证 $2k^2$ 无法放入。

在我们的构造情况下，易得一个性质是最上面一层的球的大小是连续的最上面一层的球的大小为 $[2k^2-2k+1,2k^2-1]$ 。

此时，因为

$(2k-1)^2<(2k^2-2k+1)+2k^2<(2k^2-1)+2k^2<(2k)^2$

所以无法放入 $2k^2$ 。

若最上面一层并非 $[2k^2-2k+1,2k^2-1]$ ，则在该区间内必有一个球不在最上面一层这不是废话吗。

又因为对于任意一个球，设其大小为 $x$ ，则其上方的球的大小一定大于 $x$ ，故对于上面的区间，必有两个大小在其中的球上下相邻。

又因为

$(2k-1)^2<(2k^2-2k+1)+(2k^2-2k+1)<(2k^2-1)+(2k^2-1)<(2k)^2$

故不存在该情况。