打表

分析

设 $t=\lfloor\frac{n}{5}\rfloor$，观察得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}n}=\begin{cases}0,1\le n\le4 \\1,5\le n\le9 \\2,10\le n\le14 \\···,···\end{cases}$，归纳总结（大胆猜想）发现 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}n}=t$，易证 $y=\int\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}n}=nt+C$，代入得 $C=\begin{cases}0,1\le n\le4 \\-4,5\le n\le9 \\-13,10\le n\le14 \\···,···\end{cases}$，再次归纳总结发现 $C=-\sum_{i=1}^{t}(5i-1)$，得 $y=nt-\sum_{i=1}^{t}(5i-1)$。

分析还没有结束

当 $1\le n\le24$ 时，以上分析可以完美解决（如果忽略大胆猜想的话）。但当 $n\ge25$ 时，还需要处理 $25$ 多出来的一个 $5$ 因数，以此类推，$n\ge5^3$、$n\ge5^4$ 等时都需要处理。设 $t_i=\lfloor\frac{n}{5^i}\rfloor$，再次归纳总结发现 $y=\sum_{i=1}^{\lfloor\log_{5}{n}\rfloor}[nt_i-\sum_{j=1}^{t_i}(5^ij-1)]=\sum_{i=1}^{\lfloor\log_{5}{n}\rfloor}[nt_i-5^i\sum_{j=1}^{t_i}j+t_i]=\sum_{i=1}^{\lfloor\log_{5}{n}\rfloor}[nt_i-\frac{5^i(t_i+1)t_i}{2}+t_i]$，由 $n\le10^8$ 得 $\lfloor\log_{5}{n}\rfloor\le11$。但是，我希望能对归纳总结部分进行证明和继续化简这个表达式。