发现一个好玩的斐波那契。

众所周知，斐波那契的通项公式是

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big(\Big(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^n-\Big(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)^n\Big)$

其中 $n\in \mathbb N^*$。

然后我想把他拓展到实数，甚至是复数，似乎得到了：

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big(\Big(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\Big)^x-\cos(\pi x)\Big(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^x\Big)$$

然后这个函数似乎很满足斐波那契原来的性质？

有大佬可以证明吗？蒟蒻不会。。。

另外询问一下，这样推广得到的函数是不是唯一的。

不是很会解析延拓，并且不知道这个算不算是解析延拓（如果是的话那就是唯一的吧）