给定一个正整数 $N$ 的二进制表示和一个正整数 $K$，对于 $x \in [0, N)$，求满足 $\operatorname{popcnt}(x) \le K$ 的 $x$ 的个数，对 $998,\!244,\!353$ 取模。

这题有没有可能做到优于 $O(\operatorname{log^2}\!N)$ 的时间复杂度？

目前我有一个 $O(2^ww+\frac{\operatorname{log^2}\!N}{w}\operatorname{log}(w) )$ 的复杂度，但本质上仍然是 $O(\operatorname{log^2}\!N)$ 的