以前思考过的一个有趣比例，经过找规律后得出其确定值：

对于任意正整数 $k,p$，记 $f(n)=\sum_{i^p|n}i$，则有：

$\lim_{n\to +\infty}\frac{\sum_{i=1}^n i\cdot f^k(i)}{n\sum_{i=1}^n f^k(i)}=\frac{k+1}{k+p+1}$

求证。