给定 $p,n$，询问是否能构造出一个大小为 $n\times n$ 的 01 矩阵 $M$，满足以下要求：

1. 每行、每列都恰有 $p$ 个 $1$；

2. 记 $M_{x,y}$ 为矩阵 $M$ 第 $y$ 行第 $x$ 列的数，对于每一对不同的 $(i,j)$，都只存在一对 $M_{x,i}=M_{x,j}=1$。

来源是同学的一道数学题，他的猜想是 $n=p^2-p+1$ 时一定有解，而我的 $\mathcal{O}(p^2!)$ 爆搜剪枝最多跑到 $p=5$ 之前，$p\leq5$ 时这个结论都是对的。求证明结论 / 证伪结论 / 给出时间复杂度更低的程序解法。