求助大佬。

怎样严格证明或证伪如下命题：

对于任意 $a \in N^{\ast}$，当 $a > 16$ 时，必定存在一个数 $k$，使得 $(2^a)_{10}$ 的第 $k$ 位为 $1$ 或 $2$ 或 $4$ 或 $8$。