如下图，已知抛物线 $y=ax^2+bx+c \; (a < 0)$ 经过点 $A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)$。点 $P(x_2,y_2)$ 是该抛物线上一动点，运动过程中满足 $x_0<x_2<x_1$。

求证：在点 $P$ 运动过程中，当 $S_\Delta APB$ 最大时，总有 $x_2= \frac{x_0+x_1}{2}$。