调和数的一点想法
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  • 楼主SalomeJLQ
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  • 发布时间2024/6/3 15:52
  • 上次更新2024/6/3 19:22:45
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调和数的一点想法
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SalomeJLQ楼主2024/6/3 15:52

在求助调和数这个帖子中给出了两个问题：求 −[xk](1−x)−klog⁡(1−x)-[x^k](1-x)^{-k}\log(1-x) 和 −[xk](1−x)klog⁡(1−x)-[x^k](1-x)^k\log(1-x)。

后者我给出了一个逐项积分的做法（丢失了前 kk 项，没有验证正确性）；今天信息课的时候对前一个问题进行了尝试，发现了一点新的思路。

我们注意到

∫(1−x)−klog⁡11−xdx=(1−x)1−k(k−1)!(1+(k−1)log⁡11−x),\int(1-x)^{-k}\log\frac{1}{1-x}\text dx=\frac{(1-x)^{1-k}}{(k-1)!}\left(1+(k-1)\log\frac{1}{1-x}\right),

由此我猜测进行 k+1k+1 次积分之后可以得到一个有理函数，然后可以进行展开并导回去了。

试问此方法是否可行？（我可能没什么时间）

2024/6/3 15:52