无聊想了个这样的题：

已知角 $\alpha=\sum^n_{p=1}\sum_{q=i}^n\arctan(\frac{q}{p})$，判断 $\alpha$ 是几象限角。如果终边在坐标轴上输出 orz。

是否存在复杂度比 $O(n^2)$ 小或者人类的智慧做法？