Bellman–Ford 算法

此蒟蒻为大家科普一下

Bellman–Ford 算法是一种基于松弛$（relax）$操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进行判断。

在国内 OI 界，你可能听说过的$「SPFA」$，就是 Bellman–Ford 算法的一种实现。

过程

先介绍 Bellman–Ford 算法要用到的松弛操作（Dijkstra 算法也会用到松弛操作）。

对于边 (u,v)，松弛操作对应下面的式子：$dis(v) = \min(dis(v), dis(u) + w(u, v))$。

这么做的含义是显然的：我们尝试用 $S \to u \to v$（其中 $S \to u$ 的路径取最短路）这条路径去更新 $v$ 点最短路的长度，如果这条路径更优，就进行更新。

Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛。我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止。

每次循环是 $O(m)$ 的，那么最多会循环多少次呢？

在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$，而最短路的边数最多为 $n-1$，因此整个算法最多执行 $n-1$ 轮松弛操作。故总时间复杂度为 $O(nm)$。

但还有一种情况，如果从 $S$ 点出发，抵达一个负环时，松弛操作会无休止地进行下去。注意到前面的论证中已经说明了，对于最短路存在的图，松弛操作最多只会执行 $n-1$ 轮，因此如果第 $n$ 轮循环时仍然存在能松弛的边，说明从 $S$ 点出发，能够抵达一个负环。

$结束了！$

愣着干啥，散会