关于这个式子： $d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}\big[\gcd(x,y)=1\big]$ 在此题题解中有很多证明，但是大多基于文字叙述，可以解释，但是不够优美。本人对此很不服气，想通过纯数学式子的推导证明出上面的式子。但是目前（指浪费了两节晚自习加一个上午之后）仍没有结果。故发帖求助。

另：目前有一些初步的转换（当然也许是错的），比如： $d(ij)=\dfrac{d(i)d(j)}{d\left(\gcd(i,j)\right)}=\dfrac{\sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}1}{\sum_{k\mid i,\,k\mid j}1}$ 而这与等式右边的形式十分类似。

或者从等式右边入手，推得： $\begin{aligned}&\sum_{x|i}\sum_{y|j}\big[\gcd(x,y)=1\big]\\=&\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{k\mid x,k\mid y}\mu(k)\\=&\sum_{k\mid i,k\mid j}\sum_{x\mid\frac{i}{k}}\sum_{y\mid\frac{j}{k}}\mu(k)\\=&\sum_{k\mid i,k\mid j}\mu(k)\cdot d\big(\frac{i}{k}\big)\cdot d\big(\frac{j}{k}\big)\\=&\sum_{k\mid\gcd(i,j)}\mu(k)\cdot d\big(\frac{ij}{k^2}\big)\cdot d\bigg(\frac{\gcd(i,j)}{k}\bigg)\end{aligned}$ 因为不想码太多式子所以跳了一些步骤，反正可能也是错的（雾
最后一步是因为： $d\big(\frac{i}{k}\big)\cdot d\big(\frac{j}{k}\big)=d\big(\frac{i}{k}\cdot\frac{j}{k}\big)\cdot d\Big(\!\gcd\big(\frac{i}{k},\frac{j}{k}\big)\Big)$ 又因为 $k\mid\gcd(i,j)$，所以 $\gcd\big(\dfrac{i}{k},\dfrac{j}{k})=\dfrac{\gcd(i,j)}{k}$。

之所以转换成这样是因为： $I=d\ast \mu$ 除了中间的一项 $d\big(\dfrac{ij}{k^2}\big)$，刚好是一个卷积的形式。

其实这没有任何作用。

总之，求大佬给出一个推导式证明，感激不尽。