王老师开车从家出发去 $A$ 地，去时，前 $\displaystyle \frac {1} {2}$ 路程以 $50$ 千米/时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高 $20$% ；返回时，前 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 路程以50千米/时的速度行驶，余下的路程行驶速提高 $32$% ，结果返回时比去时少用了 $31$ 分钟，则王老师家与 $A$ 地相距多少千米？