命题如下：

对于$a_1\geq a_2 \geq ...\geq a_n$ , $b_1\leq b_2\leq...\le b_n$ $(a_i,b_i\in R^+)$ , 有：

$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{b_i} \geq n\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}b_i}$

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证明如下：

首先证明二元的形式：

$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\geq 2\times\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$

$\iff a_1b_2(b_1+b_2)+a_2b_1(b_1+b_2)\geq2b_1b_2(a_1+a_2)$

$\iff a_1b_2^2 + a_2b_1^2\geq a_1b_1b_2+a_2b_1b_2$

$\iff a_1b_2(b_2-b_1)\geq a_2b_1(b_2-b_1)$

$\iff a_1b_2\geq a_2b_1$

即证

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考虑归纳假设：

$\forall a_1\geq a_2 \geq ...\geq a_{n-1}$ , $b_1\leq b_2\leq...\le b_{n-1}$ $(a_i,b_i\in R^+)$

$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i} \geq (n-1)\frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_i}{\sum_{i=1}^{n-1}b_i}$

则对于$a_n\leq a_{n-1},b_n\geq b_{n-1}$

有$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{b_i}=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i}+\frac{a_n}{b_n}$

$n\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}b_i}=n\frac{(\sum_{i=1}^{n-1}a_i)+a_n}{(\sum_{i=1}^{n-1}b_i)+b_n}\leq \frac{n}{2}(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_i}{\sum_{i=1}^{n-1}b_i}+\frac{a_n}{b_n}){}^{①}\leq \frac{n}{2}(\frac{\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i}}{n-1}+\frac{a_n}{b_n})$

于是

$(\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{b_i})-(n\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}b_i}) \geq \sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i}+\frac{a_n}{b_n} - \frac{n}{2}(\frac{\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i}}{n-1}+\frac{a_n}{b_n}) = \frac{n-2}{2(n-1)}(\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{b_i}) - \frac{n-2}{2}(\frac{a_n}{b_n})\geq \frac{n-2}{2(n-1)}(\sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_n}{b_n})-\frac{n-2}{2}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{n-2}{2}(\frac{a_n}{b_n})-\frac{n-2}{2}(\frac{a_n}{b_n})=0$

即

$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{b_i} \geq n\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}b_i}$

综上，原命题得证

①由二元形式（已证）得到

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该定理十分有用

$Exp1:$

$\sum_{cyc}{}\frac{a}{b+c}\geq3\times\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2}$

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$Exp2:$

已知$abc=1$ , $a,b,c\in R^+$

则$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

则$\sum_{cyc}{}\frac{a}{1+b+c}\geq 1$

$\iff 3\times\frac{a+b+c}{3+2a+2b+2c}\geq1$

$\iff a+b+c\geq3$

注：使用前注意不失一般性，是否可以满足$a_1\geq a_2 \geq ...\geq a_n$ , $b_1\leq b_2\leq...\le b_n$ $(a_i,b_i\in R^+)$