我是否想假了？

通过维持某种东西不变来找必败态。

有两堆石子$X$，$Y$（假设$X<Y$）。

我们可以把一堆石子拿走 $2i$ 个，并同时给另一堆加上 $i$ 个。

第一次变换：$X+i$， $Y-2i$

可以发现，第一次变换是必然发生的。

假如最初的状态是必败态。

那么后手可以做什么来维持初始状态呢？

可以把第一堆拿走 $2i$ 个，然后把另一堆加上 $i$ 个

第二次变换：$X-i$，$Y-i$

我们发现第二次变换后，两堆石子数量之差不变。

考虑必败态就是石子数量之差。

通过找简单的初始态来找必败态

1. 当石子数量之差为 $0$。

$X=1,Y=1$ 先手必败态

$X=2,Y=2$ ，第一次操作之后一定为$X=3,Y=0$，下一次操作之后变成$X=1,Y=1$的先手必败态。

若 $X=Y$ 是先手必败态，那么我们需要证明后手在先手进行任意一次操作后，总能变回 $X=Y$ 的状态。

这已经在上面证过了。

所以 $|X-Y|=0$ 是先手必败态。

2. 当石子数量之差为 $1$。

$X=1,Y=2$ 第一次操作之后一定为$X=2,Y=0$，第二次操作后一定为$X=0,Y=1$，先手必败。

所以$|X-Y|=1$先手必败

3. 当石子数量之差为 $2k$。

考虑将 $Y-X\rarr Y'-X'=1$ ($Y',X'$指的是一次操作之后的石子数量)。

我们不难发现每次变换操作一定会有：

$Y,X \rarr Y-2i,X+i\rarr (Y-X-3i)=2k-3i$ 条件是(Y-X>3i)$$....... 1

或

$Y,X \rarr Y-2i,X+i\rarr (X-Y+3i)=3i-2k$ 条件是$(Y-X \leq 3i)$ $....... 2$

所以，当石子数量之差为 $2$，那么可以利用式子 $2$，将其变为数量之差为 $1$ 的先手必败态。

所以石子数量之差为 $2$，先手必胜。

石子数量之差为 $2k$ 呢，显然可以利用条件 $1$ ，将其变为数量之差为 $1$ 的先手必败态。

所以石子数量之差为 $2k$，先手必胜。

4. 当石子数量之差是 $3k$ 。

   因为 $Y,X \rarr Y-2i,X+i\rarr (Y-X-3i)$

   每一次石子数量之差都会减少$3i$。

   那么我们可以一次性将 $Y-X=3k$ 变成 $Y'-X'=0$ 。

   而 $|X-Y|=0$ 是先手必败态。

   所以 $|X-Y|=3$ 是先手必胜态。

5. 当石子数量之差为 $4k$。这等价于$2k$

6. 当石子数量之差为 $5k$。

我们不难发现每次变换操作一定会有：

$Y,X \rarr Y-2i,X+i\rarr (Y-X-3i)=5k-3i$ 条件是(Y-X>3i)$$....... 1

或

$Y,X \rarr Y-2i,X+i\rarr (X-Y+3i)=3i-5k$ 条件是$(Y-X \leq 3i)$ $....... 2$

换句话说，除了 $3$ 的倍数，和两个必败态，其余任意一个数都可以由 $3i-1$ 或 $3i+1$ 变换成 $1$。

可以发现，总存在一个 $i$，可以将$Y'-X'$变为 $1$

所以总结规律就是，$|X-Y|\leq1$先手必败，否则先手必胜。