$\sum \limits_{l=1}^n\sum \limits_{r=l}^n\sum \limits_{i=1}^{l-1}\sum \limits_{i=1}^{n-r}\binom{l-1}{i}\binom{n-r}{j}\binom{i+j}{j}$

这是一个 dp 方程的状态数计算。

意义大概就是：对于每个 $[l,r]$ ，从 $[1,n]$ 开始，每一次砍掉左边任意长度/右边任意长度，但不能砍 $[l,r]$ 区间。一直操作直到最后剩下 $[l,r]$。问所有 $[l,r]$ 方案数。

而上面的式子大概就是先枚举所有区间，然后枚举左右两边的操作个数，然后就是组合数：左边选 $i$ 个，右边选 $j$ 个，然后归并一下。