近期做模考题遇见这样一个式子：

$\sum\limits_{k=0}^n\frac{\binom{n+k}{n}}{2^k}=2^n$

没有想到归纳之外更好的办法，另外，某神仙同学给出这样一个组合意义：考虑两边同时乘以 $2^n$，则有：

$\sum\limits_{k=0}^n {\binom{n+k}{n}2^{n-k}}=2^{2n}$

那么两边的组合意义都是从 $2n+1$ 个有标号小球中取出不少于 $n+1$ 个球的方案数，左边的求和指标 $k$ 表示挑选出来的小球的最大编号为 $n+k+1$。

现在问题在于：

1. 有无比归纳更有启发性的代数证明？
2. 一个人如何才能想出这样的组合意义？

感谢回复。