问题：

圆上随机4个点，围成的四边形内包含圆心的概率多大？

先求不包含的概率。不包含等价于4个点都在某个直径的一侧。

显然4个点都在某一直径的下侧（把直径看成有向的，类似向量，钦定下侧，上侧认为是反向直径的下侧）的概率是1/16.

那么假设无穷多条直径中相邻的2条直径夹角为 $\theta$，利用

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

)

4个点都在$\overset{\LARGE{\frown}}{BD}$上的概率即为 $P(A\cap B)$ 计算可得则4个点至少在其中一条直径下侧的概率为

$\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-(\frac{\pi-\theta}{2\pi})^4$

更进一步，如果已知4个点至少在k条直径中的一条下侧的概率Pk，则

$P_{k+1}=P_k+\frac{1}{16}-(\frac{\pi-\theta}{2\pi})^4$

我们只需要递推 $\frac{\pi}{\theta}$ 次即可包含所有直径的情况。发现除了第一条直径的1/16，每次增加的值相同。于是4点都在某一直径下侧概率为

$\frac{1}{16}+\lim_{\theta \to 0}\frac{\pi}{\theta}(\frac{1}{16}-(\frac{\pi-\theta}{2\pi})^4)$

$=\frac{1}{16}+\lim_{\theta \to 0}\frac{\pi^4-(\pi-\theta)^4}{16\theta \pi^3}$

$=\frac{1}{16}+\lim_{\theta \to 0}\frac{-\theta^4+4\pi\theta^3-6\pi^2\theta^2+4\pi^3\theta}{16\theta\pi^3}$

$=\frac{5}{16}$

最终答案为1-5/16=11/16，但是正确答案好像是1/2.我错哪了？