给定一个 $n$ 元多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{t_1=1}^d\sum\limits_{t_2=1}^d\cdots\sum\limits_{t_n=1}^d\left(a_{t_1,t_2,\cdots,t_n}\prod\limits_{i=1}^nx_i^{t_i}\right)$。

求最小的 $k$，使得存在 $nk$ 个一元多项式 $g_{i,j}(x_i)$（$1\le i\le n$，$1\le j\le k$），满足 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{j=1}^k\left(\prod\limits_{i=1}^ng_{i,j}(x_i)\right)$。

$n=1$ 时显然 $k=1$。$n=2$ 时问题等价于求矩阵 $a_{t_1,t_2}$ 的秩。$n\ge3$ 时怎么做？