有 $n$ 个男生和 $n$ 个女生。初始时，每个人会在 $n$ 个异性中等概率随机喜欢一个人。

接下来的每一轮中，所有“喜欢的人不喜欢自己”的人都会随机等概率地选择一个新的异性喜欢（包括原来喜欢的那个在内，每个异性有 $\frac{1}{n}$ 的概率被选中）。每一轮，所有满足条件的人会同时改变自己喜欢的人。

如果某一轮之后，所有人都满足“喜欢的人喜欢自己”，那么称这个八卦集合是稳定的。

请问，期望经过多少轮，这个八卦集合可以达到稳定（如果一开始就稳定，则轮数为 $0$）？

经过计算发现，$n=1$ 时答案为 $0$，$n=2$ 时答案为 $\frac{25}{7}$，但是 $n \ge 3$ 时未知。

请问有没有求解此问题的式子（或者帮忙求一下 $n=3$ 的答案也行）？

谢谢