大概是在某个 QQ 群里用一个随机吐语录的 bot 的时候想到的这个问题。问题的形式化描述大概是这样的：

有一个黑盒，里面有 $n$ 个小球，编号从 $1$ 到 $n$。现在进行 $m$ 次放回抽样，每次抽样抽到各个小球的概率相等（均为 $\dfrac{1}{n}$）。

将 $m$ 次抽样的结果记录下来，汇总得到编号为 $i$ 的小球一共抽中了 $a_i$ 次。在已知抽样结果的前提下，我想要估算出 $n$ 的值：

1. 能否根据已有的抽样信息给出 $n$ 的一个概率分布的表达式？
2. 如果无法给出一个初等的概率分布表达式，能否计算出 $n$ 的一个置信区间？