如何用数学方法而不是递推求解“第二类Stirling数”？

第二类Stirling数：

$n$ 个有区别的球放到 $m$ 个相同的盒子中，要求空无一盒，其不同的方案数用 $S(m,n)$ 表示，求方案数 $S(m,n)$ 。

使用集合表示该题为：（信息学奥赛一本通1315题）

已知 $S$ 是一个具有 $n$ 个元素的集合，$S={a_1, a_2, ..., a_n}$ ，现将 $S$ 划分成 $k$ 个满足下列条件的子集合 $S_1, S_2, ..., S_k$ ，且满足：

• $S_i \ne \emptyset$
• $S_i \cap S_j = \emptyset$ ，其中 $1\le i,j\le k$ 且 $i\ne j$
• $S_1\cup S_2\cup ... \cup S_k =S$

先求对于 $n$ 个元素的集合 $S$ 划分成 $k$ 个子集合的方法数。如：对于 $10$ 个元素的集合 $S$ 划分成 $6$ 个子集合的方法数为 $22827$。