给定一个网格图，每一个格子的边长都为 $1$，同时有一个半径为 $n$（$n$ 为正整数）的圆。

（$1$）当圆心在顶点上时，在圆上的格点数为多少？

（$2$）当圆心在任意位置时，在圆上的格点数最多有多少？最少有多少？

例如：当半径为 $1$ 的圆的圆心在格点上时，在圆上的格点数为 $4$。