在许多人看来，1+1=2，这是常识，不需要证明。
一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。
但是，数学家们并不满足于常识。他们依然想要构造出一个公理系统，来证明1+1=2。
数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）建构的公理系统最为出名。接下来，就让我们来领略皮亚诺公理的魅力吧。
假装自己什么都不知道
首先，我们需要假定自己不是地球人，而是外星人，而且是那种从来没有学过数学的外星人。
这一步有点困难，因为假扮一个外星人，强求我们假装自己不知道那些明明已经知道的东西，但我希望大家还是努努力。
如果你不假装自己什么都不知道，那你就不会知道公理系统有多重要。同时，你也很难体会到皮亚诺公理有多美。
皮亚诺的五条公理
现在，假定我们已经什么都不知道了。现在再来看皮亚诺的那5条公理：
- 1是自然数。
- 任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。
- 任何自然数的后继数都不是1。
- 任意挑选出两个自然数，就称呼其中一个为a，另一个为b。如果a的后继数和b的后继数刚好是同一个数。那么，a和b其实不是两个不同的自然数，而是同一个自然数。
- 假设自然数1有一个特点。而且，如果任意自然数n有这个特点，那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出，所有自然数都有这个特点。
作为外星人我们肯定看不懂这五条公理究竟在说什么。所以，让我们来逐条欣赏它们的含义。
第一条公理:
第一条公理非常简单，它的意思就是说，1这个数啊，它算是自然数。或者说，假设自然数是一个俱乐部，那么1这个数就是这个俱乐部的成员。
注意，这条公理并没有说，1是不是这个自然数俱乐部的唯一成员。目前，关于自然数俱乐部，我们所知甚少。至少现在，我们只知道1是其中一员。
第二条公理:
现在，我们来看第二条公理。这条公理就更值得品味了。它说，任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。我们可以猜想，自然数这个俱乐部的成员，其实都很怕寂寞。每个成员都要和邻居住在一起，而且那个邻居也是自然数。
如果把第一条公理和第二条公理结合在一起，我们会发现什么呢？
1是自然数的一员，1也很怕寂寞，所以1也有个邻居。1这个数的邻居，为了方便称呼，就叫做“1的后继数”。而且，“1的后继数”这位邻居，本身也是自然数俱乐部的成员，它也是个自然数。
现在，我们知道了，1在自然数俱乐部中并不是孤家寡人。这个俱乐部里头至少有两个成员，一个是1，另一个是“1的后继数”。
那么，现在让我们再来问一个问题。这个自然数俱乐部里，是不是只有两个成员呢？
当然不是。仔细看看第二条公理，它说的是任何自然数的后继数都是自然数。既然“1的后继数”也是自然数，那它也有个邻居，而且那个邻居也是后继数。
所以，现在我们知道了，自然数俱乐部里至少有三个成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数。
运用同样的思路，不难发现，自然数俱乐部里其实有超多成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数的后继数……
现在，我们已经知道了自然数俱乐部里，至少看起来有超多成员，虽然不知道具体有多少，但总之有很多就对了。
第三条公理: 这条公理看似有些多余，它说，任何自然数的后继数都不是1。
但是，仔细想想的话，这条公理一点都不多余。你们看，第一条公理和第二条公理里头，都没有规定任何自然数的后继数都不是1。你们想，如果没有这条规定，那么俱乐部有可能是什么样子？
可能性就非常多了。自然数俱乐部甚至可能只有1这一个成员，1的后继数其实也是1，1的后继数的后继数还是1，看起来有很多成员，其实都只是1穿的不同马甲罢了。
自然数俱乐部里也可能只有2个成员。比如，只有1和1的后继数。如果不做出第三条公理中的规定，那么1的后继数的后继数可能就是1。整个俱乐部里，就只有这两个数抱团取暖。比如，1的后继数的后继数的后继数，其实就是1的后继数。整个俱乐部的成员其实都是这两个成员穿的不同马甲。
同理，自然数俱乐部里，也可能是3个成员，4个成员或5个成员，还可能是23456个成员，可能是938457234个成员。但是，这不是皮亚诺想要的自然数俱乐部。所以才有了第三条公理。
现在，我们知道了，自然数俱乐部里不知看起来有多个成员，实际上也有多个成员，而且，数量貌似还不少。