已知 $x>1,y>\frac{1}{2},\frac{x^2}{a^2(2y-1)}+\frac{4y^2}{a^2(x-1)}=1$，求 $a$ 最大值。

答案好像是 $2\sqrt{2}$，但我认为 $a$ 没有最大值，求助。