problem 1

注：下文若未特殊注明，则所有变量（未知数）均为正整数。

若对于正整数 $n$ 满足：对于任意正整数 $m<n$ 均有

$$m^n\equiv m(\bmod n)$$

则称 $n$ 为“同余数”。

试问：共有多少个“同余数”？

• 若为有限个，则：

  1. 有多少个？
  2. 这些数是哪些（或表示成哪些形式）？

• 若为无限个，则：

  1. 这些数能表示成哪些形式？

（个人猜想所有质数均为“同余数”。）

problem 2

注：下文若未特殊注明，则所有变量（未知数）均为正整数。

定义函数 $f$ 为：

给定正整数 $m,n(m<n)$ 均能找到正整数 $q,r(r<m)$ 使得：

$$n=qm+r.$$

则定义 $f(m,n)=r$ 。

现对于正整数 $n$ 满足：对于任意正整数 $m<n$ 均有

$$\text{任意}m_1\ne m_2,且m_1,m_2<n,\text{都有}f(m_1,n)\ne f(m_2,n),\text{并且} \left\{ x\lvert x=f(m,n),m<n\right\}=\left\{ x\lvert x<n,x\in Z\right\}$$

则称 $n$ 为“完系数”。

试问：共有多少个“同余数”？

• 若为有限个，则：

  1. 有多少个？
  2. 这些数是哪些（或表示成哪些形式）？

• 若为无限个，则：

  1. 这些数能表示成哪些形式？

希望大家能够回复！