题解区清一色的结论是 $k\leq 10$，有的没有证明。但是这个结论是错的啊/xk

不仅 CF 数据没有 $\geq 10$ 的答案，而且不等式解下来就是 $k\leq 9$。CF 官方题解也写了

it is impossible to construct a string with answer 10

不可能构造答案为 $10$ 的字符串。