有一个经典的组合数学题：
将前 2n 个正整数填入 2×n 的表格，每格一个数，使得每行从左往右递增，每列从上往下递增。求不同填表方式的数目。
一种思路就是按升序顺序填入数（每一行从左往右填，上一行的数必须多于下一行的），在另一个坐标系里，将在原表上一列填数看做向右走，在下一列填数看做向上走，就有一个标数的方法了。
我们标出来的数表大概长这样：
&&&&14\\
&&&5&14\\
&&2&5&9\\
&1&2&3&4\\
1&1&1&1&1
\end{array}$$
设左下角1的坐标是(0,0)，那么
$$f(a,b)=\begin{cases}f(a-1,b)+f(a,b-1)&a\le b\\0&a>b\end{cases}$$
这些元素好像都可以表示为
$$f(a,b)=C_{a+b}^a-C_{a+b}^{a+1}$$
可以大概给一个代数或组合上的解释吗？