现有单调递增（不严格）序列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\le 20n$。 是否总存在一组集合 $B_1,B_2,\ldots$ 和一对正整数 $N,K$ 使得：

• $\forall i\in \N^*, B_i\subseteq B_{i+1}$。
• $|B_i|\le i$ 且 $\max B_i\le a_i$。
• $\forall n\ge N$，$B_n$ 内有至少 $30$ 个数不小于 $a_n-K$。

Arcaea 语言翻译：

假如 Arcaea 历史平均更新速度不超过 $20$ 首每年，你每年可以获得 $100$ 源点可以买一首歌（第 $n$ 年拥有歌曲集合为 $B_n$），是否存在策略使得你的 b30 总在所有曲目的前 $K$ 名以内。

举个例子，当 $a_n=20n$，那么一种构造是：

$B_n=\begin{cases}B_{n-30}+[a_n-29,a_n]\cap \Z & 30\mid n\\B_{n-1} & 30\not\mid n\end{cases}$，$N=30,K=600$。