题目： 已知函数 $f(x)=-x^2+bx+c$，则 “$f(f(\frac{b}{2})) \gt 0$ ” 是 “方程 $f(x)=0$ 有两个不同实数解且方程 $f(f(x))=0$ 恰有两个不同实数解 ” 的 __________ 条件？
答案：必要不充分

必要性很显然，我的问题是在充分性的证明中，由 $f(f(\frac{b}{2})) \gt 0$ 可知，因为 $y=f(x)$ 开口向下且存在 $k$ 使得 $f(k) \gt 0$，所以函数与 $x$ 轴有两个交点 $(x_1,0)$ 和 $(x_2,0)$。为什么不能由 $f(f(\frac{b}{2})) \gt 0$ 说明 $x_1 \lt f(\frac{b}{2}) \lt x_2$？

希望有大佬可以帮忙看看这个思路为什么不对，感激不尽！