已知非严格的单调增数列满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=-a_n^2+ca_n-1$，求 $c$ 的范围。

容易发现 $[3,\sqrt 5 +1]$ 是可行的。然而 $n\ge 3$ 时让 $a_n$ 等于不动点都会新得到一个 $c$，如 $3.5,4-\dfrac{\sqrt 2}2$ 等。记这个数列为 c。

能否证明 c 的极限为 $\sqrt 5 +1$，或否定之并且 c 递减?