有 $k$ 条路径，均从 $(0,0)$ 走到 $(n,m)$，要求第 $i+1$ 条路径始终在第 $i$ 条路径上方（可以重叠）。记方案数为 $F(n,m,k)$，例如 $F(1,2,2) = 6,F(2,3,2)=50$。我猜测 $F(n,m,k)$ 可表示为：

$F(n,m,k)=\prod_{t=0}^{n-1}\dfrac{\binom {m+k+t}{m}}{\binom {m+t}{m}}$

或者一个更为对称的形式：

$F(n,m,k)=\prod_{a=0}^n\prod_{b=0}^m\prod_{c=0}^k\dfrac{a+b+c-1}{a+b+c-2}$

但是我不会证。请问有没有什么证法呢？