设至少 $i$ 行 $j$ 列染成了相同颜色。然后考虑容斥。

• $i$ 为 $0$。那么方案数为

$\sum_{i = 1}^{n} (-1) ^ {i} \dbinom{n}{i} 3 ^ i 3 ^ {n(n - i)}$

• $j$ 为 $0$，其方案数与 $i = 0$ 相同。

• $i, j$ 均不为 $0$。方案数为：

$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j + 1} \dbinom{n}{i} \dbinom{n}{j} 3 \times 3 ^{(n - i)(n - j)}$

然后我 $n ^ 2$ 暴力了一下发现这个式子是对的。然后我把第二个式子拆了一下，变成了：

$\left ( \sum_{i = 1}^{n} (-1) ^ i \dbinom{n}{i} 3 ^ {n - i}\right ) \left ( \sum_{j = 1}^{n} (-1) ^ j \dbinom{n}{j} 3 ^ {n - j}\right )\times (-3)$

结果这一步式子错了。有人教教错在哪里吗？

本人数学基础不好，肯定是某些傻逼错误大家别喷。